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6.수학과 알고리즘

쌍곡함수가 무엇인가

쌍곡함수가 무엇인가

작성자: 박재성(ospace114@empal.com), 2007.10.31

쌍곡 삼각함수는 비유클리드 기하인 쌍곡 기하를 공부하기 위해서 만들었다. 또 다른 비유클리드 기하인 구면기하를 하다보면 자연스럽게 삼각함수 역활을 쌍곡삼각함수가 해낼때가 많다.
그렇기에 쌍곡함수가 삼각함수와 모습은 다르지만 매우 비슷한 성질을 가졌기에 가능하다.

예를 들어 다음을 계산할때

11x2dx \int { 1 \over \sqrt { 1 - x^2 } } dx

x=sin(t) x = sin(t) 라고 치환한다. 이렇게 치환하는 이유는

1sin2(t)=cos(t) \sqrt { 1 - sin^2 (t) } = cos(t)

가 되기 때문이다.

그리고 다음을 계산할 때에

11+x2dx \int { 1 \over \sqrt { 1 + x^2 } } dx

x=sinh(t) x = sinh (t) 라고 치환한다. 이렇게 치환하는 이유는

1+sinh2(t)=cosh(t) \sqrt { 1 + sinh^2 (t) } = cosh(t)

가 되기 때문이다.

물론,

cosh2(t)sinh2(t)=1 cosh^2 (t) - sinh^2 (t) = 1

를 알면 쉽다.

이 형태가 쌍곡선 x2y2=1 x^2 - y^2 = 1 위에 있고 이를 쌍곡선 함수라고 한다.

x2y2=1 x^2 - y^2 = 1 인 매개화는 여러가지가 가능하다. 예로 (sec t, tan t) 또는 ((et+et)/2) (( e^t + e^{-t})/2), ((etet)/2)(( e^t - e^{-t})/2) 도 있다. 이중에 두번째가 성질이 의외로 삼각함수와 비슷해서 표기형태를 cosh t, sinh t를 사용한다.

몇 개만 예를 들면,

cosh2sinh2=1 cosh^2 - sinh^2 = 1 이고 sinh(2t)=2sinh(t)cosh(t) sinh(2t) = 2 sinh(t) cosh (t) 가 된다.

원의 방정식이 x2+y2=1 x^2 + y^2 = 1 임을 감안하고 y -> iy로 치환하면 거칠게 말하면(논리적인 표현이 아님) 복소수의 삼각함수와 쌍곡함수가 서로 밀접한 관련이 있다라고 할 수 있다.

테일러 정의를 배우게 되면 지수함수와 삼각 함수는 근본적으로 다른 함수가 아니라는 놀라운 사실을 알게 된다.

출처: www.mathlove.org

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