쌍곡함수가 무엇인가

쌍곡함수가 무엇인가

작성자: 박재성(ospace114@empal.com), 2007.10.31

쌍곡 삼각함수는 비유클리드 기하인 쌍곡 기하를 공부하기 위해서 만들었다. 또 다른 비유클리드 기하인 구면기하를 하다보면 자연스럽게 삼각함수 역활을 쌍곡삼각함수가 해낼때가 많다.
그렇기에 쌍곡함수가 삼각함수와 모습은 다르지만 매우 비슷한 성질을 가졌기에 가능하다.

예를 들어 다음을 계산할때

$$ \int { 1 \over \sqrt { 1 - x^2 } } dx $$

\( x = sin(t) \)라고 치환한다. 이렇게 치환하는 이유는

$$ \sqrt { 1 - sin^2 (t) } = cos(t) $$

가 되기 때문이다.

그리고 다음을 계산할 때에

$$ \int { 1 \over \sqrt { 1 + x^2 } } dx $$

\( x = sinh (t) \) 라고 치환한다. 이렇게 치환하는 이유는

$$ \sqrt { 1 + sinh^2 (t) } = cosh(t) $$

가 되기 때문이다.

물론,

$$ cosh^2 (t) - sinh^2 (t) = 1 $$

를 알면 쉽다.

이 형태가 쌍곡선 \( x^2 - y^2 = 1 \) 위에 있고 이를 쌍곡선 함수라고 한다.

\( x^2 - y^2 = 1 \) 인 매개화는 여러가지가 가능하다. 예로 (sec t, tan t) 또는 \( (( e^t + e^{-t})/2)\), \((( e^t - e^{-t})/2) \)도 있다. 이중에 두번째가 성질이 의외로 삼각함수와 비슷해서 표기형태를 cosh t, sinh t를 사용한다.

몇 개만 예를 들면,

\( cosh^2 - sinh^2 = 1 \) 이고 \( sinh(2t) = 2 sinh(t) cosh (t) \) 가 된다.

원의 방정식이 \( x^2 + y^2 = 1 \) 임을 감안하고 y -> iy로 치환하면 거칠게 말하면(논리적인 표현이 아님) 복소수의 삼각함수와 쌍곡함수가 서로 밀접한 관련이 있다라고 할 수 있다.

테일러 정의를 배우게 되면 지수함수와 삼각 함수는 근본적으로 다른 함수가 아니라는 놀라운 사실을 알게 된다.

출처: www.mathlove.org