[수학] Log 개념

로그(Log)

작성: http://ospace.tistory.com/(ospace114@empal.com) 2008.11.11

표현방법

로그는 수함함수이다. 어떤 값에 몇 승하는 식을 다르게 표현한 형태이다.
예를 들어,

$$ x^n = y $$

x에 n승을 하면 결과 y 값을 얻는 식이다. 이를 로그식 표현으로 하면,

$$ \log_x y = n $$

즉, log 밑이 x으로 하는 y 값이 n이다. 즉, 지수와 로구를 거울과 같은 관계이다.

• x에 n승한 값 -- 지수
• x에 y값이 되는 승수 -- 로그

밑이 자연대수인 e이면 자연로그라고 하고 log 대신에 ln으로 사용한다.

$$ e^n = y ==> \log_e y = \ln y = n $$

그리고 밑이 10인 경우는 생략할 수 있다.

$$ 10^n = y ==> \log y = n $$

다른관점

큰 수 표현

로그를 다른 관점에서 다시 해석하면, 로그를 사용하는 이유 중에 하나가 큰 숫자를 표현하는데 유리하다.

$$ \log y = n $$

log 밑이 10인 경우를 보면, 10에 몇 승(n)을 해야 y값이 되는가를 말한다. 즉, 10으로 y값을 만들기위한 승수(n)를 알 수 있다.

이 개념을 좀더 확장하면, 아주 큰 숫자를 작은 승수 값으로 변경할 수 있다는 의미이다. 소수점 이하의 아주 약간의 오차가 생기지만, 매우큰 범위의 숫자를 다룰 수 있는 장점이 생긴다.

예를 들어, 1 ~ 1,000,000,000 범위의 숫자가 있다고 하자. 즉 1T(테라) 값의 범위이다.

이를 \( \log_{10} \) 으로 변환하면,

1 ~ 1,000,000,000 === (\( \log_{10} \)) ===> 0 ~ 9

이제 0~9 범위의 값을 다루면 된다. 물론 다시 원래 값으로 돌리려면 \( 10^n \) 승을 해주면 된다.

쉬운 연산으로 풀기

계산 식에 있어서 곱셈을 더하기로 나눗셈을 뺄셈으로 또한 고차원을 1차원으로 변환해서 계산할 수 있게 된다. 이 것이 로그의 법칙이다. 개인차(?)는 있겠지만 당연히 곱셈보다 나눗셈이 편하고 나눗셈보다 뺄셈이 계산하기 편하다.

$$ \log_n ( x × y ) = \log_n x + \log_n y $$
$$ \log_n ( x ÷ y ) = \log_n x - \log_n y $$

물론 x와 y의 값의 크기가 작다면 쉽게 계산되지만, 매우 큰 값이면 곱하기가 쉽지 않다.
거듭제곱을 구할 때에도 로그를 사용하면 거듭제곱을 단순 곱셈으로 변경할 수 있다. 곱셈도 쉽지 않지만, 거듭제곱은 더 쉽지 않다. ㅡ.ㅡ;;

$$ \log_n x^y = y \log_n x $$

예를 들어 아래 함수가 최소값이 되는 x를 구해보자.

$$ y = x^2 (1-x)^8 $$

위의 함수에 자연 로그를 양쪽에 넣어보자.

$$ \ln y = \ln (x^2 (1-x)^8) $$

로그의 성질에 의해 곱셈을 덧셈으로 변경되고 x의 지수가 로그 앞으로 나온다.

$$ \ln y = 2 \ln x + 8 \ln (1-x) $$

최소 값을 구하려면 미분이 0인 경우를 구하면 되므로, 자연로그 미분은 아주 쉽기 때문에 더 단순해진다.
$$ { d \over dx } \ln y = \frac 2 x - \frac 8 {(1-x)} $$

이 값이 0인 경우를 찾으면 된다.

이렇게 로그를 사용할 경우 계산의 난이도를 한단계(?) 쉽게 만들 수 있다.

좀더, 자세한 정보를 위키사전 로그를 참조하시기 바란다.

History

2009.11.20, ospace, 값의 범위를 축약하는 의미
2017.02.01, ospace, 수식입력으로 수식 표현방식 수정.
2018.02.06, ospace, 로그에 대한 다른 관점 추가
2023.03.03, ospace, 다른 관점에 대해 내용 보강