쌍곡함수가 무엇인가
작성자: 박재성(Ospace114@empal.com), 2007.10.31
쌍곡 삼각함수는 비유클리드 기하인 쌍곡 기하를 공부하기 위해서 만들었다. 또 다른 비유클리드 기하인 구면기하를 하다보면 자연스럽게 삼각함수 역활을 쌍곡삼각함수가 해낼때가 많다.
그렇기에 쌍곡함수가 삼각함수와 모습은 다르지만 매우 비슷한 성질을 가졌기에 가능하다.
예를 들어 int 1 / root(1 - x^2) dx를 계산할때 x = sin t라 치환한다. 이렇게 치환하는 이유는 root(1 - sin^2(t)) = cos(t)가 되기 때문이다.
마찬가지로 int 1/root(1 + x^2) dx를 계산할때 x = sinh t로 치환한다. 이렇게 하는 이유는 root(1 + sinh^2 t) = cosh t가 된다. 물론, cosh^2 t - sinh^2 t = 1를 알면 쉽다.
이 형태가 쌍곡선 x^2 - y^2 = 1 위에 있고 이를 쌍곡선 함수라고 한다.
x^2 - y^2 = 1인 매개화는 여러가지가 가능하다. 예로 (sec t, tan t) 또는 (( e^t + e^-t)/2), (( e^t - e^-t)/2)도 있다. 이중에 두번째가 성질이 의외로 삼각함수와 비슷해서 표기형태를 cosh t, sinh t를 사용한다.
몇 개만 예를 들면,
cosh^2 t - sinh^2 t = 1이고 sinh(2t) = 2sinh(t) cosh(t)가 된다.
원의 방정식이 x^2 + y^2 = 1 임을 감안하고 y -> iy로 치환하면 거칠게 말하면(논리적인 표현이 아님) 복소수의 삼각함수와 쌍곡함수가 서로 밀접한 관련이 있다라고 할 수 있다.
테일러 정의를 배우게 되면 지수함수와 삼각 함수는 근본적으로 다른 함수가 아니라는 놀라운 사실을 알게 된다.
출처: www.mathlove.org
작성자: 박재성(Ospace114@empal.com), 2007.10.31
쌍곡 삼각함수는 비유클리드 기하인 쌍곡 기하를 공부하기 위해서 만들었다. 또 다른 비유클리드 기하인 구면기하를 하다보면 자연스럽게 삼각함수 역활을 쌍곡삼각함수가 해낼때가 많다.
그렇기에 쌍곡함수가 삼각함수와 모습은 다르지만 매우 비슷한 성질을 가졌기에 가능하다.
예를 들어 int 1 / root(1 - x^2) dx를 계산할때 x = sin t라 치환한다. 이렇게 치환하는 이유는 root(1 - sin^2(t)) = cos(t)가 되기 때문이다.
마찬가지로 int 1/root(1 + x^2) dx를 계산할때 x = sinh t로 치환한다. 이렇게 하는 이유는 root(1 + sinh^2 t) = cosh t가 된다. 물론, cosh^2 t - sinh^2 t = 1를 알면 쉽다.
이 형태가 쌍곡선 x^2 - y^2 = 1 위에 있고 이를 쌍곡선 함수라고 한다.
x^2 - y^2 = 1인 매개화는 여러가지가 가능하다. 예로 (sec t, tan t) 또는 (( e^t + e^-t)/2), (( e^t - e^-t)/2)도 있다. 이중에 두번째가 성질이 의외로 삼각함수와 비슷해서 표기형태를 cosh t, sinh t를 사용한다.
몇 개만 예를 들면,
cosh^2 t - sinh^2 t = 1이고 sinh(2t) = 2sinh(t) cosh(t)가 된다.
원의 방정식이 x^2 + y^2 = 1 임을 감안하고 y -> iy로 치환하면 거칠게 말하면(논리적인 표현이 아님) 복소수의 삼각함수와 쌍곡함수가 서로 밀접한 관련이 있다라고 할 수 있다.
테일러 정의를 배우게 되면 지수함수와 삼각 함수는 근본적으로 다른 함수가 아니라는 놀라운 사실을 알게 된다.
출처: www.mathlove.org
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