나비에-스토크스(Navier-Stokes) 방정식

나비에-스토크스 방정식은 물체에 적용했던 뉴턴 2법칙(F=ma)을 유체에 적용하기 위해서 형태를 변형한 방정식이다. 다르게 말하면 뉴턴유체(점탄성이 없는 유체)에 작용하는 힘 변화를 기술하는 비선형 편미분 방정식이다. 어떻게 F=ma에서 나비에-스토크스 방정식이 유도되는지 알아보려고 한다. 저도 공부하면서 정리하는 내용이라 틀린 부분이 있을 수 있습니다.

작성자: ospace114@empal.com, http://ospace.tistory.com/

나비에-스토크스 방정식

나비에-스토크스 방정식이 다양한 표기 형태가 있지만 아래와 같은 형태가 익숙하다.

$$ \tag 1 \rho \left [ {\partial \bold V \over \partial t} + (\bold V \cdot \nabla ) \bold V \right] = - \nabla p + \rho \bold g + \mu \nabla^2 \bold V$$

나비에-스토크스 방정식을 유도하기 전에 먼저 뉴턴 2법칙의 앞뒤 순서를 바꿔보자.

$$ \tag 2 ma = F $$

유체는 고체와는 다르게 형태가 변형이 되면서 내부에서 힘이 변하고 있다. 여기에서는 유체에 작용하는 힘 중에 중력, 압력, 점성력에 대해 고려하겠다. 즉, 여기서 유체에 작용하는 힘은 3개 힘으로 구성된다고 보자. 기타 힘들도 있지만 여기서는 고려하지 않는다.

$$ \tag 3 F = F_{gravity} + F_{pressure} + F_{viscous} + F_{misc}$$

정리하면 아래와 같다.

$$ \tag 4 ma = F_{gravity} + F_{pressure} + F_{viscous}$$

ma

먼저 앞의 질량과 가속도를 보자. 가속도는 시간에 대한 속도의 변화이다.

$$ \tag 5 { d \bold V \over dt } = \hat i { du \over dt } + \hat j { dv \over dt } + \hat k { dw \over dt } $$

유체가 공간에 있기 때문에 x, y, z 방향에 대한 속도를 고려한다.
세 방향 중에서 x 방향만 보자. u는 전미분을 하기 위해서 u가 공간과 시간에 영향을 받기 때문에 u(x,y,z,t) 형태의 함수가 된다. 이 함수를 그대로 전미분을 할 수 없고 편미분으로 바꿔야한다.

$$ \tag 6 { du \over dt } = { \partial u \over \partial t } + u { \partial u \over \partial x } + v { \partial u \over \partial y } + w{ \partial u \over \partial z } $$

위 식을 좀더 간단하게 표기하기 위해서 그래디언트를 사용해서 표기한다.

$$ \tag 7 \nabla = \left ( \hat i { \partial \over \partial x }, \hat j { \partial \over \partial y } , \hat k { \partial \over \partial z } \right ) $$

그래디언트 표기를 사용하면 가속도를 간단하게 표기할 수 있다.

$$ \tag 8 { du \over dt } = { \partial u \over \partial t } + (\bold V \cdot \nabla) u $$

위은 x좌표이므로 이를 y와 z에 대해서 고려해서 모두 더해주고 정리하면 아래와 같이 된다.

$$ \tag 9 { d \bold V \over dt } = { \partial \bold V \over \partial t } + (\bold V \cdot \nabla) \bold V $$

유체에서 질량을 밀도를 사용해서 표현된다. 밀도가 높다는 말은 질량이 높다는 의미가 되기 때문이다. 그래서 밀도에 부피를 곱하면 질량이다. 밀도까지 고려해서 계산해주면 힘이 계산된다.

$$ ma = \tag {10} \rho \left [ { \partial \bold V \over \partial t } + (\bold V \cdot \nabla) \bold V \right ] dxdydz$$

\( F_{gravity} \)

\( F_{gravity} \)은 중력에 의한 힘이다. 중력의 힘 계산은 쉽다. 앞에서 언급한 질량대신 밀도를 사용하고 가속도는 중력 가속도를 사용하면 된다.

$$ \tag {11} F_{gravity} = \rho \bold g ~ dxdydz$$

\( F_{pressure} \)

\( F_{pressure} \)은 압력에 의한 힘이다. 이 힘은 압력차에 의해서 유체가 유동되고 이로 인해서 발생하는 힘을 의미한다. 유체는 압력이 높은 곳에서 낮은 곳으로 흘러간다. 그렇기에 미소공간에 대해서 상하좌우에서 받는 압력의 영향을 고려하면 된다.
미소영역을 dx, dy, dz라고 하자.
먼저 세 방향 압력 중에서 x 방향 압력을 고려하자. 미소영역 왼쪽에서 받는 압력이 p * dydz 가 된다. 그럼 dx 떨어진 오른쪽에 압력은 테일러 급수 전개에 의해서 구할 수 있다. 그리고 이를 합하면 x 방향 압력이 된다.

$$ \tag {12} \cancel {p~dydz} -\left (\cancel {p} + {\partial p \over \partial x} dx \right ) dydz $$

오른쪽 압력은 외쪽과 반대방향이기 때문에 마이너스 부호를 붙여줬다. pdydz는 사라지게되고 식을 정리하면 아래와 같다.

$$ \tag {13} -{\partial p \over \partial x} dxdydz $$

이를 y와 z도 동일하게 계산해서 모두 합하면 아래와 같다.

$$ \tag {14} -{\partial p \over \partial x} dxdydz - {\partial p \over \partial y} dxdydz - {\partial p \over \partial z} dxdydz = -\left ({\partial p \over \partial x} + {\partial p \over \partial y} + {\partial p \over \partial z} \right ) dxdydz$$

잘 보면 앞에 그래디언트를 사용해서 표기할 수 있다.

$$ \tag {15} F_{pressure} = -\nabla \cdot p ~ dxdydz $$

\( F_{viscous} \)

\( F_{viscous} \)은 점성력에 의한 힘이다. 유체가 움직일 때에 유체간에 점성력이 작용한다. 점성력에 의해서 응력이 발생하는데 미소영역에 작용하는 점성력은 수직과 수평방향으로 작용한다. 수직 방향은 수직 응력이라고 하며, 수평 방향을 전단 응력이라고 한다. 그리고 수평 방향은 수직으로된 2개의 전단 응력이 있다. 응력은 뉴턴의 유체마찰 법칙에 의해 계산할 수 있다.

$$ \tag {16} \tau_{ij} = \mu {\partial V_j \over \partial i } $$

미소유체에 작용하는 응력은 x, y, z 축 방향으로 구분해서 고려해보자.

$$ \tag {17} F_{viscous} = F_{viscous_x} + F_{viscous_y} + F_{viscous_z} $$

먼저 x 축 방향으로 발생하는 응력들을 살펴보자. y축 방향인 면에서 x축으로 발생하는 응력이 \( \tau_{yx} \)이다. 그리고 반대편 면에서도 응력이 발생한다. 이 응력은 앞의 테일러 급수 전개에 의해서 동일하게 구할 수 있다.

$$ \tag {18} \tau_{yx}, \tau_{yx}+{\partial \tau_{yx} \over \partial y} dy $$

그래서 x방향으로 발생하는 응력을 계산하면 아래와 같이 정리할 수 있다.

$$ \tag {19} F_{viscous_x} = \left ( {\partial \tau_{xx} \over \partial x} + {\partial \tau_{yx} \over \partial y} + {\partial \tau_{zx} \over \partial z} \right ) dxdydz$$

예를 들어 식(16)을 y방향 평면에서 x 방향 전단 응력은 아래 처럼 표현할 수 있다.

$$ \tag {20} \tau_{yx} = \mu {\partial V_x \over \partial x } = \mu {\partial u \over \partial x} $$

$$ \tag {21} \tau_{xx} = \sigma_{\mu x} = \mu \left ( {\partial u \over \partial x} + {\partial u \over \partial x} \right) = 2 \mu {\partial u \over \partial x} $$

식(19)에 식(20),(21)을 적용하자.

$$ \tag {22} \begin{align*} F_{viscous_x} &= \mu \left ( 2 { \partial \over \partial x } { \partial u \over \partial x } + { \partial \over \partial y } \left ( { \partial v \over \partial x } + { \partial u \over \partial y } \right )+ { \partial \over \partial z } \left ( { \partial w \over \partial x } + { \partial u \over \partial z } \right ) \ \right ) dxdydz \\ &= \mu \left ( {\partial^2 u \over \partial x^2 } + {\partial^2 u \over \partial x^2 } + {\partial^2 u \over \partial y^2 } + {\partial^2 v \over \partial x \partial y } + {\partial^2 u \over \partial z^2 } + {\partial^2 w \over \partial x \partial z } \right ) dxdydz \\ &= \mu \left ( {\partial^2 u \over \partial x^2 } + {\partial^2 u \over \partial y^2 } + {\partial^2 u \over \partial z^2 } + \cancel { {\partial \over \partial x } \left ( {\partial u \over \partial x } + {\partial v \over \partial y } + {\partial w \over \partial z } \right ) } \right ) dxdydz \\ &= \mu \left ( {\partial^2 u \over \partial x^2 } + {\partial^2 u \over \partial y^2 } + {\partial^2 u \over \partial z^2 } \right ) dxdydz \end{align*} $$

continuity equation에 의해서 뒤쪽 괄호 항이 0이 되면서 위 결과가 나온다. 위의 식을 간단하게 아래 처럼 표기할 수 있다.

$$ \tag {23} F_{viscous_x} = \mu \nabla^2 u ~ dxdydz $$

이를 y와 z 축 방향도 고려해서 유도하면 아래 식처럼 정리할 수 있다.

$$ \tag {24} F_{viscous} = \mu \nabla^2 \bold V ~ dxdydz $$

결론

마지막으로 식(4)에 식(10),(11),(15),(24)을 대입하면 양쪽에 dxdydz을 삭제하면 아래 식과 같게 된다.

$$ \rho \left [ { \partial \bold V \over \partial t } + (\bold \cdot \nabla) \bold V \right ] = \rho \bold g -\nabla \cdot p + \mu \nabla^2 \bold V $$

참고

[1] user-ry8wk6ks6d(튜플이의 탐구생활), Navier-Stokes Equation, https://www.youtube.com/watch?v=zjM5ZhIEslc
[2] AplusMech, [유체역학] 나비에스톡스 방정식 증명, https://www.youtube.com/watch?v=EYg_Eb9q2hQ
[3] tec-science, Derivation of the Navier-Stokes equations, https://www.tec-science.com/mechanics/gases-and-liquids/derivation-of-the-navier-stokes-equations/, 2020.10.23