랑그랑주 역학

랑그랑주 역학은 뉴턴역학의 정의를 해석하는 범위까지

랑그랑지안을 구하면 방정식을 구할 수 있다.

뉴턴역학이 미치는 영역에서는 운동 방정식을 알고 있기 때문에 아래 식으로 구할 수 있다.
$$\tag 1 L = T - V$$

여기서 T는 운동 에너지이고, V는 포텐셜 에너지이다. 각각 에너지 방정식을 넣어서 구하면 된다.

운동방정식을 모르는 경우 조건을 만족하는 라그랑지안을 도출하고 운동방정식을 구한다.
랑그랑지안을 도출하기 위해 랑그랑지안 방정식을 사용해야 한다.

랑그랑지안 방정식 유도 과정

입자가 고정된 지점 A와 B을 이동하는 경로가 있다. 이 경로는 다양한 경로가 있을 수 있고 이런 경로를 L이라고 하자.
일반화 좌표계에서 두점간에 최단 거리에 해당하는 함수를 q(t)라고 하면 이함수로 떨어진 다양한 경로에 함수를 q(a,t)라고 정의하고 아래처럼 표현할 수 있다.

$$q(a,t) = q(0,t) + a \eta (t)$$

여기서 a가 q(t)와 떨어진 정도를 의미하는 변수, \( \eta (t) \)은 다양한 모양의 경로를 표현하는 함수이다. 즉 q(0,t)가 q(t)가 된다. 위의 함수는 시간에 대한 함수이므로 시간에 따른 위치의 변화가 있으며 또한 속도를 가지게 된다.

랑그라지언은 일단 입자의 위치를 나타내는 q(t)가 있고 속도에 해당하는 미분과 시간 t를 사용해서 함수로 나타낼 수 있다.

$$\tag 4 L = L(q, q', t) $$

여기서 q'=dq/dt가 된다.
이동한 거리를 알려면 L을 시간에 대해서 적분하면 된다. 여기서 L을 랑그랑지안으로 하고 이렇게 적분하는 작업을 작용(action)이라고 한다.
$$\tag 2 I = \int_{t_1}^{t_2} L~dt $$

해밀턴의 최소 작용원리에 의해 위의 경로 I가 최소값을 갖으면 된다. 다른 말로 작용이 최소가되는 경우를 찾는다.
$$\tag 3 \delta I = \delta \int_{t_1}^{t_2} L ~dt = \int_{t_1}^{t_2} \delta L ~dt = 0$$

즉, 변분 I (\( \delta I \) )가 0이 되는 조건을 구해야 한다. 변분이 적분 안으로 들어가서 정리할 수 있다. 변분 I를 구해보자. x는 독립변수이므로 변분 x는 0이 된다.
$$\tag 5 \delta I = \int_{t_1}^{t_2} \delta L(q, q', x) ~dt = \int_{t_1}^{t_2} \left[ {\partial L \over \partial q} \delta q + {\partial L \over \partial q'} \delta q' \right] dt = 0$$

대괄호 안에 두번째 항만 빼내서 보자. q'은 x에 대한 미분이므로 풀어서 정리했다.
$$\tag 6 \int_{t_1}^{t_2} { \partial L \over \partial q'} \delta \left ( { dq \over dt} \right ) dt $$

그리고 (6) 식에서 변분과 미분의 위치를 바꿔쓸 수 있기 때문에 아래처럼 정리할 수 있다.
$$\tag 7 \int_{t_1}^{t_2} { \partial L \over \partial q'} { d \over dt} \delta q dt $$

위 식에 부분적분을 적용해보자. 미분의 순서가 바뀌게 된다.
$$\tag 8 \int_{t_1}^{t_2} { \partial L \over \partial q'} { d \over dt} \delta q dt = \left [ { \partial L \over \partial q'} \delta q \right ]_{t_1}^{t_2} - \int _{t_1}^{t_2} { d \over dt} \left ( { \partial L \over \partial q'} \right ) \delta q ~ dt $$

식(8)에서 대괄호 안에 q가 t1과 t2 위치가 고정되어 있기 때문에 변분 q가 t1과 t2에서 0이 되서 없어진다. 그래서 뒤에 항만 남게 된다.
이를 다시 식(5)에 적용해서 정리해보자.
$$\tag 9 \delta I = \int_{t_1}^{t_2} \left[ {\partial L \over \partial q} - { d \over dt} \left ( { \partial L \over \partial q'} \right ) \right ] \delta q ~ dt = 0$$

식(9)에서 변분 q는 0이 아닐 수도 있기 때문에 위의 조건을 만족하려면 대괄호 안에 식이 0이 되어야 한다. 그러므로 아래 식을 도출 할 수 있다.
$$ {\partial L \over \partial q} - { d \over dt} \left ( { \partial L \over \partial q'} \right ) = 0$$

참고

[1] Dongwoo Cha, S010-M02A 라그랑주 역학과 변분법, https://www.youtube.com/watch?v=jXlzlDSVPCc
[2] 라그랑주 역학, https://namu.wiki/w/%EB%9D%BC%EA%B7%B8%EB%9E%91%EC%A3%BC%20%EC%97%AD%ED%95%99