들어가기
테일러 급수는 알지못하는 함수를 함수 근사해로 표현할 수 있다.
예를 들어 측정된 데이터는 복잡한 형태를 뛰고 예측할 수 없는 패턴으로 움직인다. 이를 미소범위에서 한정해서 보면 1차식, 2차식, 3차식으로 단순한 함수로 정의할 수 있다. 다항식 함수의 합으로 복잡한 그래프를 표현할 수 있다.
작성자: ospace114@empal.com, http://ospace.tistory.com/
개념
임의 함수 f(x)가 있다고 하자.
다음의 조건을 알고 있다고 하면
- f(1) = 2
- f(2) = 4
여기서 f(2)는 f(1)에서 x 방향으로 1 만큼 이동한 위치에서 기울기를 곱한 값이라고 할 수 있다.
$$ f(2) = f(1) + {f(2)-f(1) \over 2 - 1} \times \Delta x $$
f(x)에서 \( \Delta x \) 만큼 떨어진 위치에 값을 구한다.
$$ f(x + \Delta x) = f(x) + {\partial f \over \partial x} \Delta x $$
위의 경우는 1차 미분함수만 사용했지만, 주어진 함수가 무한하게 미분 가능하다면 무한한 다항함수 합으로 함수를 표현할수 있다. 다른 말로 특정 점의 미분계수들로 하는 다향식의 극한으로 표현할 수 있다. f(x)에 대해 x=a에서 f(x)에 접하는 멱급수로 표현하는 방법이다. 특히 a=0을 자주 사용하며 이를 매클로린 급수maclaurin series라고 한다.
테일러 급수 유도
함수 f(x)를 전개하면 초항과 1차식으로 시작해서 무한대 차식까지 나온다.
$$ f(x) = C_0 + C_1 (x-a)^1 + C_2 (x-a)^2 + C_3 (x-a)^3 + C_4 (x-a)^4 +...$$
첫번째 미분은 상수는 없어지게 된다.
$$ f'(x) = C_1 + 2 C_2 (x-a)^1 + 3 C_3 (x-a)^2 + 4 C_4 (x-a)^3 +...$$
두번째 미분은 다음 상수가 사라지게 된다.
$$ f''(x) = 2 C_2 + 3 \cdot 2 \cdot C_3 (x-a)^1 + 4 \cdot 3 \cdot C_4 (x-a)^2 +...$$
세번째 미분은 다음 상수가 사라지게 된다.
$$ f'''(x) = 3 \cdot 2 \cdot C_3 + 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot C_4 (x-a)^1 +...$$
위의 식들에서 x에 a을 대입하면 뒤에 다항식이 모두 사라진다.
$$ \begin{align*} f'(a) &= C_1 \\ f''(a) &= 2 C_2 \\ f'''(a) &= 3 \cdot 2 \cdot C_3 \end{align*} $$
즉, 각 차수에서 계수를 구할 수 있게 된다.
$$ \begin{align*} C_1 &= f'(a) \\ C_2 &= \frac 1 2 f''(a) \\ C_3 &= \frac 1 {3 \cdot 2 } f'''(a) \end{align*}$$
이를 f(x)에 대입하면 테일러 급수 전개가 된다.
$$ f(x) = C_0 + f'(a) (x-a)^1 + \frac 1 2 f''(a) (x-a)^2 + \frac 1 {3 \cdot 2 } f'''(a) (x-a)^3 + \frac 1 {4 \cdot 3 \cdot 2} f''''(a) (x-a)^4 +...$$
간단하게 표기하면 다음과 같다.
$$ f(x) = \lim_{n \rarr \infin} \sum_{k=0}^n {f^{(k)} \over k!} (x-a)^k $$
적용 예
사인 함수가 있다고 하자.
$$ f(x) = \sin(x) $$
이를 미분해보자.
$$ \begin{align*} f'(x) &= \cos(x) \\ f''(x) &= -\sin(x) \\f'''(x) &= -\cos(x) \\f'''(x) &= \sin(x) \end{align*} $$
결국 4번째 미분에 함수 자신이 되면서 무한대로 미분가능하다.
x=0에서 테일러 급수를 전개하면,
$$ f(x) = f(0) + {f'(0) \over 1!} (x-0)^1 + {f''(0) \over 2!} (x-0)^2 + { f'''(0) \over 3! } (x-0)^3 + ...$$
이를 위의 사인함수를 적용해서 계산해보자. sin(0) = 0, cos(0) =1 이 되므로, 짝수 차수 미분항은 모두 0이 되면서 사라진다.
$$ \begin{align*} f(x) &= 0 + {1 \over 1!} (x-0)^1 + {0 \over 2!} (x-0)^2 + {1 \over 3!} (x-0)^3 + {0 \over 4!} (x-0)^4 + ... \\ &= {x \over 1!} - {x^3 \over 3!} + {x^5 \over 5!} - {x^7 \over 7!} + ...\end{align*}$$
뒤로 갈수로 팩토리얼 값이 매우 커지므로 0으로 수렴하면서 무시해도 오차가 거의 없어지게 된다. 그래서 9! 이하 항들을 생략할 수 있다.
$$ sin(x) = {x \over 1!} - {x^3 \over 3!} + {x^5 \over 5!} - {x^7 \over 7!} $$
얼마나 생략할지는 그때마다 허용가능한 오차 범위 내에서 선택하면 될듯 하다.
참고
[1] A+ 4대역학, 공학수학 01 테일러 급수전개, https://www.youtube.com/watch?v=25LTXISdZxk
[2] 테일러 급수, https://namu.wiki/w/%ED%85%8C%EC%9D%BC%EB%9F%AC%20%EA%B8%89%EC%88%98