수학기초 2 - 수열

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인공지능 스터디하는 중간에 도움될 만한 수학 기초 일부를 단순 참고용으로 정리했다.

작성자: http://ospace.tistory.com/ (ospace114@empal.com)

수열이란?

수열(Sequence)은 규칙성을 가지는 수의 나열을 의미한다. 각 숫자를 항이라고 한다.

• 일반항: 몇번째 수를 n를 이용해서 표현
  • $a_n$ (ex. $a_n = 2n$)
• 집합: 중괄호 이용해 수열 전체를 표현
  • {$a_n$}

수열에는 등차수열(Arithmetic Sequence)와 등비수열(Geometric Sequence)이 있다.
등차 수열은 인접한 항과 차이를 공차(Common Difference)라고 한다. 일반항은 다음과 같다.

$$ a_n = a + (n - 1)d $$

a는 초항이고 d는 공차인 경우 n번째 항을 구하는 식이다.

등비수열은 인접한 항과 일정한 비율이 있고 이를 공비(Geometric Ration)라고 한다. 일반항은 다음과 같다.

$$ a_n = a r^{n-1} $$

a가 초항이고 r이 공비이다.

점화식

일반항 외에 수열의 귀납적 정의로 표현하는 방법이 있다. 인접한 이웃 항 관계을 식으로 표현한다. 즉, $a_n$과 $a_{n+1}$ 사용해서 관계식을 표현한다.

$$ a_{n+1} = a_n + c $$

인공지능 신경 망에서는 이전 노드와 관계를 표시하는데 사용된다.

합과 곱

합(Sum)과 곱(Product)를 표현하는 방식이다.

$$ \sum_{i=1}^n x_i = x_1 + x_2 + \dots + x_n \\ \prod_{i=1}^n x_i = x_1 \times x_2 \times \dots \times x_n $$

순열과 조합

순열(Permutation)은 서로 다른 대상을 골라 순서대로 나열하는 경우의 수이다.

$$ _nP_r = P(n,k)=(n)_k = n^{\underbar r} = {n! \over (n-r)!} $$

조합(Combination)은 무작위로 대상을 골라 순서 없이 나열하는 경우의 수이다.

$$ _nC_r = C(n,k) = \binom{n}{r}= {_nP_r \over r!} = {n! \over r!(n-r)!} $$

순열에서 순서가 없이 나열되기에 나열하는 경우 중에 중복되는 수로 나누면 된다. 보통 표기는 전자보다 후자를 많이 사용한다.

참고

[1] 와쿠이 요시유키, 와쿠이 사다미, 처음 배우는 딥러닝 수학, 한빛미디어

[2] 이시카와 아키히코, 신상재 이진희, 인공지능을 위한 수학, 프리렉, 2019.09.16